Some comments and examples on generation of (hyper-)archimedean -groups and f-rings

— This paper systematizes some theory concerning the generation of -groups and reduced f -rings from substructures. We are particularly concerned with archimedean and hyperarchimedean groups and rings. We discuss the process of adjoining a weak order unit to an -group, or an identity to an f -ring and find significant contrasts between these cases. In -groups, hyperarchimedeanness and similar properties fail to pass from generating structures to the structures that they generate, as illustrated by a basic example of Conrad and Martinez which we revisit and elaborate. For reduced f -rings, on the other hand, these properties do inherit upwards. RÉSUMÉ. — Dans cet article, nous donnons les bases d’une théorie sur la génération des -groupes et des f -anneaux réduits à partir de certaines sous-structures. Nous sommes concernés en premier lieu par les groupes et anneaux archimédiens et hyperarchimédiens. Nous discutons le procédé d’adjoindre une unité faible à un -groupe ou une identité à un f -anneau et nous trouvons des différences significatives entre ces situations. Dans les -groupes, certaines propriétés comme celle d’être hyperarchimédien ne sont pas toujours transférées aux structures engendrées, comme le montre l’exemple fondamental de Conrad et Martinez, que nous revisitons et élaborons. Par contre, ces propriétés sont transférées dans le cas des f -anneaux réduits. (1) Department of Mathematics, Wesleyan University, Middletown, CT, USA, 06459 [email protected] (2) 5 W. Oak St., Ramsey, NJ 07446 [email protected]